関数 $f(x, y) = 2x^3 + x^2y - 3xy^2 - 4y^3$ の2階偏微分 $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 2x^3 + x^2y - 3xy^2 - 4y^3$ の2階偏微分 $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、1階偏微分 $f_x$ と $f_y$ を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2 + 2xy - 3y^2$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 - 6xy - 12y^2$

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial f_x}{\partial x} = 12x + 2y$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial f_y}{\partial y} = -6x - 24y$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial f_x}{\partial y} = 2x - 6y$

$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial f_y}{\partial x} = 2x - 6y$

3. 最終的な答え

$f_{xx} = 12x + 2y$

$f_{yy} = -6x - 24y$

$f_{xy} = 2x - 6y$

$f_{yx} = 2x - 6y$