全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 60$, $n(A) = 30$, $n(B) = 25$ である。 次の個数のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(A \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 60$, $n(A) = 30$, $n(B) = 25$ である。

次の個数のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(A \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cap B)$ について

$n(A \cap B)$ が最大となるのは、$B \subset A$ のときである。このとき、$n(A \cap B) = n(B) = 25$。

$n(A \cap B)$ が最小となるのは、$n(A \cup B)$ が最大となるときである。

$n(A \cup B) \le n(U) = 60$ である。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ より、$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$。

$n(A \cap B)$ が最小となるのは、$n(A \cup B)$ が最大、つまり $n(A \cup B) = 60$ のときである。

$n(A \cap B) = 30 + 25 - 60 = -5$ となることはないため、$n(A \cup B)$ が取りうる最大の値は、全体集合 $U$ の要素数である60である。

よって、$n(A \cup B) = 60$のとき、$n(A \cap B) = 30 + 25 - 60 = -5$になるが、これはありえない。

$n(A \cup B)$がとりうる最大の値を別の方法で考える。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A) = 30$, $n(B) = 25$ より $n(A \cup B) = 30 + 25 - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 55 - n(A \cap B)$

$n(A \cup B)$ の最大値は、$n(A \cap B)$ が最小の時である。

$n(A \cap B) \ge 0$ より、$n(A \cup B) \le 55$ である。

$n(A \cup B)$ の最小値は、$n(A \cup B) \ge n(A)$ かつ $n(A \cup B) \ge n(B)$ より、$n(A \cup B) \ge 30$ である。

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 30 + 25 - n(A \cup B) = 55 - n(A \cup B)$

$n(A \cup B)$ が最大になるのは、全体集合の要素数に等しいとき、つまり$n(A \cup B) = 60$のとき。

このとき、$n(A \cap B) = 55 - 60 = -5$ となるので、ありえない。

したがって、$n(A \cup B)$が取りうる最大の数は $n(U)$ 以下である。$A \cup B$ に含まれる要素は $U$ の要素数を超えることはない。

$n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le n(U)$

$30 + 25 - n(A \cap B) \le 60$

$55 - n(A \cap B) \le 60$

$- n(A \cap B) \le 5$

$n(A \cap B) \ge -5$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cap B)$ が最小となるのは、$n(A \cup B)$ が最大となるとき

$A \subset B$ でないとすると、$n(A \cup B) \le 60$ となる。

$n(A \cap B) \ge 0$ より $n(A \cup B) = 55 - n(A \cap B)$ から$n(A \cup B) \le 55$

ここで $n(A) = 30$ と $n(B) = 25$ であるから、$n(A \cup B) \ge 30$

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 55 - n(A \cup B)$

$n(A \cup B)$ が最大になるのは $n(A \cap B)$ が最小の時である。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \le n(U) = 60$ より

$30 + 25 - n(A \cap B) \le 60$

$55 - n(A \cap B) \le 60$

$n(A \cap B) \ge -5$

$n(A \cap B) \ge 0$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ より、

$n(A \cap B) = 0$ の時、$n(A \cup B) = 55$

$n(A \cap B)$ の最小値は、$A \cap B = \phi$の時、0 である。

(2) $n(A \cup B)$ について

$n(A \cup B)$ が最大となるのは、$n(A \cap B)$ が最小となるとき。$A \cup B \subset U$ より $n(A \cup B) \le n(U) = 60$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 30 + 25 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) \ge 0$ より、$n(A \cup B) \le 55$

$n(A \cup B)$ が最小となるのは、$A \subset B$ または $B \subset A$のときである。

$n(A \cup B) \ge n(A) = 30$ なので、$A \subset B$ の場合、$n(A \cup B) = n(B) = 25$

$n(A \cup B) \ge n(B) = 25$ なので、$B \subset A$ の場合、$n(A \cup B) = n(A) = 30$

したがって、最小値は $n(A) = 30$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B)$ の最大値は、$n(A \cap B)$ が最小の時である。

$n(A \cap B)$ の最小値は0なので、$n(A \cup B) = 30 + 25 - 0 = 55$

(3) $n(A \cap \overline{B})$ について

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B})$ が最大となるのは、$n(A \cap B)$ が最小となるとき。

$n(A \cap B) = 0$ のとき、$n(A \cap \overline{B}) = n(A) = 30$

$n(A \cap \overline{B})$ が最小となるのは、$n(A \cap B)$ が最大となるとき。

$n(A \cap B)$ の最大値は、$n(B) = 25$ のときなので、$n(A \cap \overline{B}) = 30 - 25 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B)$ の最大値: 25, 最小値: 0

(2) $n(A \cup B)$ の最大値: 55, 最小値: 30

(3) $n(A \cap \overline{B})$ の最大値: 30, 最小値: 5