与えられた行列 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} $ の逆行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -1 \\

-1 & -1 & 2 \\

2 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

の逆行列を求める。

2. 解き方の手順

与えられた行列を $A$ とする。

$A$ の逆行列を求めるには、以下の手順を踏む。

(1) $A$ の行列式 $|A|$ を計算する。

(2) $A$ の余因子行列 $C$ を計算する。

(3) $C$ の転置行列 $C^T$ を計算する。これは $A$ の随伴行列（adjugate matrix）である。

(4) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を $A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$ により計算する。

(1) 行列式 $|A|$ の計算：

$$

|A| = 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) - 2 \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + (-1) \cdot (-1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2) \\

= 1 \cdot (-1 + 2) - 2 \cdot (-1 - 4) + (-1) \cdot (1 + 2) \\

= 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-5) - 1 \cdot 3 \\

= 1 + 10 - 3 \\

= 8

$$

(2) 余因子行列 $C$ の計算：

$$

C_{11} = (-1) \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1 \\

C_{12} = -((-1) \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -(-1 - 4) = 5 \\

C_{13} = (-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 = 1 + 2 = 3 \\

C_{21} = -(2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = -(2 - 1) = -1 \\

C_{22} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2 = 1 + 2 = 3 \\

C_{23} = -(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) = -(-1 - 4) = 5 \\

C_{31} = 2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) = 4 - 1 = 3 \\

C_{32} = -(1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) = -(2 - 1) = -1 \\

C_{33} = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1

$$

したがって、

$$

C = \begin{pmatrix}

1 & 5 & 3 \\

-1 & 3 & 5 \\

3 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

(3) 随伴行列 $C^T$ の計算：

$$

C^T = \begin{pmatrix}

1 & -1 & 3 \\

5 & 3 & -1 \\

3 & 5 & 1

\end{pmatrix}

$$

(4) 逆行列 $A^{-1}$ の計算：

$$

A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{8} \begin{pmatrix}

1 & -1 & 3 \\

5 & 3 & -1 \\

3 & 5 & 1

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1/8 & -1/8 & 3/8 \\

5/8 & 3/8 & -1/8 \\

3/8 & 5/8 & 1/8

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$$

A^{-1} = \begin{pmatrix}

1/8 & -1/8 & 3/8 \\

5/8 & 3/8 & -1/8 \\

3/8 & 5/8 & 1/8

\end{pmatrix}

$$