与えられた3x3行列の逆行列を求めます。行列 $A$ は次のように与えられます。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の逆行列を求めます。行列 $A$ は次のように与えられます。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列式の計算:

まず、行列 $A$ の行列式を計算します。

$det(A) = 1((-1)(1) - (2)(-1)) - 2((-1)(1) - (2)(2)) + (-1)((-1)(-1) - (-1)(2))$

$det(A) = 1(-1 + 2) - 2(-1 - 4) - 1(1 + 2)$

$det(A) = 1(1) - 2(-5) - 1(3)$

$det(A) = 1 + 10 - 3 = 8$

(2) 余因子行列の計算:

次に、余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = (-1)(1) - (2)(-1) = -1 + 2 = 1$

$C_{12} = -((-1)(1) - (2)(2)) = -(-1 - 4) = 5$

$C_{13} = (-1)(-1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3$

$C_{21} = -(2(1) - (-1)(-1)) = -(2 - 1) = -1$

$C_{22} = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3$

$C_{23} = -(1(-1) - 2(2)) = -(-1 - 4) = 5$

$C_{31} = 2(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3$

$C_{32} = -(1(2) - (-1)(-1)) = -(2 - 1) = -1$

$C_{33} = (1)(-1) - (2)(-1) = -1 + 2 = 1$

余因子行列 $C$ は次のようになります。

$C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ -1 & 3 & 5 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 転置行列の計算:

余因子行列 $C$ の転置行列 $C^T$ を計算します。

$C^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 逆行列の計算:

逆行列 $A^{-1}$ は、転置行列 $C^T$ を行列式 $det(A)$ で割ることで得られます。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/8 & -1/8 & 3/8 \\ 5/8 & 3/8 & -1/8 \\ 3/8 & 5/8 & 1/8 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

与えられた行列の逆行列は次のとおりです。

$\begin{pmatrix} 1/8 & -1/8 & 3/8 \\ 5/8 & 3/8 & -1/8 \\ 3/8 & 5/8 & 1/8 \end{pmatrix}$