全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A \cap B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$ (7) $A \cup \overline{B}$ (8) $\overline{A} \cup B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A \cap B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$

(7) $A \cup \overline{B}$

(8) $\overline{A} \cup B$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの集合の補集合、共通部分、和集合を求めます。

(1) $\overline{A}$: $A$ の補集合は、$U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B}$: $B$ の補集合は、$U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cap B$: $A$ と $B$ の共通部分は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap B = \{3, 5\}$

$\overline{A \cap B}$: $A \cap B$ の補集合は、$U$ の要素のうち $A \cap B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $A \cup B$: $A$ と $B$ の和集合は、$A$ または $B$ に含まれる要素の集合です。

$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

$\overline{A \cup B}$: $A \cup B$ の補集合は、$U$ の要素のうち $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cup B} = \{1, 6, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B$: $\overline{A}$ と $B$ の共通部分は、$\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap B = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B}$: $A$ と $\overline{B}$ の共通部分は、$A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(7) $A \cup \overline{B}$: $A$ と $\overline{B}$ の和集合は、$A$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合です。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $\overline{A} \cup B$: $\overline{A}$ と $B$ の和集合は、$\overline{A}$ または $B$ に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{1, 6, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(7) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $\overline{A} \cup B = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$