全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A \cap B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$ (7) $A \cup \overline{B}$ (8) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A \cap B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$

(7) $A \cup \overline{B}$

(8) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求める。$\overline{A}$ は $U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素の集合であり、$\overline{B}$ は $U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素の集合である。その後、各問題の指示に従って集合演算を行う。

(1) $\overline{A} = U - A = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = U - B = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cap B = \{3, 5\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 4, 6, 8, 9\} \cup \{1, 2, 6, 7, 8, 9\} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{1, 4, 6, 8, 9\} \cap \{3, 4, 5\} = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\} \cap \{1, 2, 6, 7, 8, 9\} = \{2, 7\}$

(7) $A \cup \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 2, 6, 7, 8, 9\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $A \cup B = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{3, 4, 5\} = \{2, 3, 4, 5, 7\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 6, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{4\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{2, 7\}$

(7) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(8) $\overline{A \cup B} = \{1, 6, 8, 9\}$