$1 < b < a$ のとき、$(\log_a b)^2$, $\log_a b^2$, $\log_a (\log_a b)$ の大小を比較せよ。

1. 問題の内容

$1 < b < a$ のとき、$(\log_a b)^2$, $\log_a b^2$, $\log_a (\log_a b)$ の大小を比較せよ。

2. 解き方の手順

まず、$1 < b < a$ より、$\log_a b$ の範囲を考える。底 $a$ は $1$ より大きいので、対数関数は単調増加。したがって、

$\log_a 1 < \log_a b < \log_a a$

$0 < \log_a b < 1$

(1) $(\log_a b)^2$ について

$0 < \log_a b < 1$ より、$(\log_a b)^2 < \log_a b$

(2) $\log_a b^2$ について

$\log_a b^2 = 2 \log_a b$

$0 < \log_a b < 1$ より、$0 < 2\log_a b < 2$

$\log_a b < 2\log_a b$ である。

また、$0 < \log_a b < 1$ より、もし$\log_a b$が十分に小さければ、$2\log_a b < 1$ となりうる。

(3) $\log_a (\log_a b)$ について

$0 < \log_a b < 1$ より、$\log_a (\log_a b) < 0$

以上のことから、

$\log_a (\log_a b) < 0 < (\log_a b)^2 < \log_a b < 2\log_a b$

したがって、$\log_a (\log_a b) < (\log_a b)^2$

次に、$\log_a b^2$ と $(\log_a b)^2$ の大小関係を比較する。

$\log_a b^2 = 2\log_a b$

$(\log_a b)^2$ と $2 \log_a b$ の大小関係を比較する。

$0 < \log_a b < 1$ より、$(\log_a b)^2 < 2 \log_a b$

よって、$(\log_a b)^2 < \log_a b^2$

まとめると、$\log_a(\log_a b) < (\log_a b)^2 < \log_a b^2$

3. 最終的な答え

$\log_a (\log_a b) < (\log_a b)^2 < \log_a b^2$