$a$ を定数、$x$ を実数とし、$y = 9^x + \frac{1}{9^x} - 4a(3^x + \frac{1}{3^x})$ とする。$t = 3^x + \frac{1}{3^x}$ とおくとき、 (1) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) $y$ を $t$ の式で表せ。 (3) $y$ の最小値とそのときの $x$ の値を、$a$ を用いてそれぞれ表せ。

1. 問題の内容

$a$ を定数、$x$ を実数とし、$y = 9^x + \frac{1}{9^x} - 4a(3^x + \frac{1}{3^x})$ とする。$t = 3^x + \frac{1}{3^x}$ とおくとき、

(1) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $y$ を $t$ の式で表せ。

(3) $y$ の最小値とそのときの $x$ の値を、$a$ を用いてそれぞれ表せ。

2. 解き方の手順

(1) $t = 3^x + \frac{1}{3^x}$ について、$3^x > 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係より、

$$t = 3^x + \frac{1}{3^x} \geq 2\sqrt{3^x \cdot \frac{1}{3^x}} = 2$$

等号成立は $3^x = \frac{1}{3^x}$ のとき、すなわち $3^{2x} = 1$ より $x = 0$ のときである。したがって、$t \geq 2$

(2) $t = 3^x + \frac{1}{3^x}$ より、

$$t^2 = (3^x + \frac{1}{3^x})^2 = (3^x)^2 + 2 \cdot 3^x \cdot \frac{1}{3^x} + (\frac{1}{3^x})^2 = 9^x + 2 + \frac{1}{9^x}$$

したがって、$9^x + \frac{1}{9^x} = t^2 - 2$ である。

$y = 9^x + \frac{1}{9^x} - 4a(3^x + \frac{1}{3^x}) = (t^2 - 2) - 4at = t^2 - 4at - 2$

(3) $y = t^2 - 4at - 2 = (t - 2a)^2 - 4a^2 - 2$

$t \geq 2$ であることに注意して、場合分けを行う。

(i) $2a < 2$ つまり $a < 1$ のとき、$t = 2$ で最小値をとる。

$t = 2$ のとき、$y = 4 - 8a - 2 = 2 - 8a$

$t = 3^x + \frac{1}{3^x} = 2$ より $3^x = 1$ すなわち $x = 0$

よって、最小値 $2 - 8a$ ($x=0$)

(ii) $2a \geq 2$ つまり $a \geq 1$ のとき、$t = 2a$ で最小値をとる。

$y = (2a - 2a)^2 - 4a^2 - 2 = -4a^2 - 2$

$t = 3^x + \frac{1}{3^x} = 2a$ より $3^{2x} - 2a \cdot 3^x + 1 = 0$

$3^x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4}}{2} = a \pm \sqrt{a^2 - 1}$

$x = \log_3 (a \pm \sqrt{a^2 - 1})$

よって、最小値 $-4a^2 - 2$ ($x = \log_3 (a \pm \sqrt{a^2 - 1})$)

3. 最終的な答え

(1) $t \geq 2$

(2) $y = t^2 - 4at - 2$

(3) $a < 1$ のとき、最小値 $2 - 8a$ ($x = 0$)

$a \geq 1$ のとき、最小値 $-4a^2 - 2$ ($x = \log_3 (a \pm \sqrt{a^2 - 1})$)