与えられた2次不等式 $x^2 - 2x - 1 \ge 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $x^2 - 2x - 1 \ge 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の解を求めます。解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x = 1 + \sqrt{2}$ と $x = 1 - \sqrt{2}$ が2次方程式の解です。

2次不等式 $x^2 - 2x - 1 \ge 0$ の解は、2次関数 $y = x^2 - 2x - 1$ のグラフが $y \ge 0$ となる $x$ の範囲です。この2次関数のグラフは下に凸な放物線であり、$x$ 軸との交点は $x = 1 - \sqrt{2}$ と $x = 1 + \sqrt{2}$ です。したがって、不等式 $x^2 - 2x - 1 \ge 0$ を満たす $x$ の範囲は、

$x \le 1 - \sqrt{2}$ または $x \ge 1 + \sqrt{2}$

です。

3. 最終的な答え

$x \le 1 - \sqrt{2}$ または $x \ge 1 + \sqrt{2}$