長さ40cmの針金を折り曲げて、縦より横が長い長方形を作る。縦の長さを$x$cm、横の長さを$y$cmとしたとき、$y$を$x$の関数で表し、この関数の定義域と値域を求める。

1. 問題の内容

長さ40cmの針金を折り曲げて、縦より横が長い長方形を作る。縦の長さを$x$cm、横の長さを$y$cmとしたとき、$y$を$x$の関数で表し、この関数の定義域と値域を求める。

2. 解き方の手順

長方形の周の長さは $2x + 2y = 40$ である。

この式を $y$ について解く。

$2y = 40 - 2x$

$y = 20 - x$

長方形の縦の長さは $x$、横の長さは $y=20-x$。

縦より横が長いので、$x < y$。

つまり、$x < 20 - x$。

これを解くと、$2x < 20$、$x < 10$。

また、$x$ は長方形の長さなので、$x > 0$。

したがって、$0 < x < 10$。

$y = 20 - x$ で、$x$ の値によって $y$ の値が決まる。

$x > 0$ なので、$y < 20$。

また、$x < 10$ なので、$y > 10$。

したがって、$10 < y < 20$。

定義域は $x$ の取りうる値の範囲なので、$0 < x < 10$。

値域は $y$ の取りうる値の範囲なので、$10 < y < 20$。

3. 最終的な答え

$y = 20 - x$

定義域: $0 < x < 10$

値域: $10 < y < 20$