三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=9$, $CA=6$であるとき、頂点Aから辺BCに下ろした垂線AHの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=9$, $CA=6$であるとき、頂点Aから辺BCに下ろした垂線AHの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの面積Sをヘロンの公式を用いて求める。

ヘロンの公式は、$s = \frac{a+b+c}{2}$として、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$である。

この問題では、$a = 5$, $b = 9$, $c = 6$なので、

$s = \frac{5+9+6}{2} = \frac{20}{2} = 10$

したがって、$S = \sqrt{10(10-5)(10-9)(10-6)} = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$

次に、三角形の面積Sを$\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$で表す。

底辺をBCとすると、高さはAHであるから、$S = \frac{1}{2} \times BC \times AH$

$10\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 9 \times AH$

$AH = \frac{20\sqrt{2}}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{20\sqrt{2}}{9}$