以下の等式が成り立つことを証明します。 $\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} - \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} = 2\tan\theta$

1. 問題の内容

以下の等式が成り立つことを証明します。

$\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} - \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} = 2\tan\theta$

2. 解き方の手順

左辺を変形して右辺と等しくなることを示します。

まず、左辺を通分します。

$\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} - \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} = \frac{\cos\theta(1+\sin\theta) - \cos\theta(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}$

分子を展開し、整理します。

$\frac{\cos\theta + \cos\theta\sin\theta - \cos\theta + \cos\theta\sin\theta}{1 - \sin^2\theta} = \frac{2\cos\theta\sin\theta}{1 - \sin^2\theta}$

三角関数の恒等式 $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ を用いると、

$\frac{2\cos\theta\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{2\sin\theta}{\cos\theta}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より、

$\frac{2\sin\theta}{\cos\theta} = 2\tan\theta$

したがって、左辺は右辺に等しくなります。

3. 最終的な答え

$\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} - \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} = 2\tan\theta$