$\theta$ が第3象限の角であり、$\sin \theta = -\frac{2}{3}$ であるとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ が第3象限の角であり、$\sin \theta = -\frac{2}{3}$ であるとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を利用して、$\cos \theta$ を求める。

$\sin \theta = -\frac{2}{3}$ を代入すると、

$(-\frac{2}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{4}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\theta$ が第3象限の角なので、$\cos \theta < 0$。

したがって、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$。

次に、$\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\sin \theta = -\frac{2}{3}$、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$