$a, b$ を正の数とする。$xy$ 平面上に2点 $A(a, 0)$ と $B(0, b)$ があり、これらを頂点とする正三角形 $ABC$ を作る。ただし、点 $C$ は第1象限の点とする。正三角形 $ABC$ が正方形 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ に含まれるとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を正の数とする。$xy$ 平面上に2点 $A(a, 0)$ と $B(0, b)$ があり、これらを頂点とする正三角形 $ABC$ を作る。ただし、点 $C$ は第1象限の点とする。正三角形 $ABC$ が正方形 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ に含まれるとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

正三角形 $ABC$ の頂点 $C$ の座標を求める。

$A(a, 0)$ と $B(0, b)$ を結ぶ線分を $AB$ とする。$AB$ を $1: \sqrt{3}$ に内分する点を $P$、$1: \sqrt{3}$ に外分する点を $Q$ とすると、$C$ は $AB$ を一辺とする正三角形の第1象限にある頂点なので、

$C = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) + \left( \frac{\sqrt{3} b}{2}, \frac{\sqrt{3} a}{2} \right)$ または $C = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) - \left( \frac{\sqrt{3} b}{2}, \frac{\sqrt{3} a}{2} \right)$

$C$ が第1象限にあることから、

$C = \left( \frac{a - \sqrt{3} b}{2}, \frac{b + \sqrt{3} a}{2} \right)$ または $C = \left( \frac{a + \sqrt{3} b}{2}, \frac{b - \sqrt{3} a}{2} \right)$

$a, b$ は正であるから、$\frac{b + \sqrt{3} a}{2} > 0$ である。

$\frac{b - \sqrt{3} a}{2} > 0$ となるためには、$b > \sqrt{3} a$ でなくてはならない。このとき、 $C = \left( \frac{a + \sqrt{3} b}{2}, \frac{b - \sqrt{3} a}{2} \right)$ となる。

また、$a, b > 0$ より、$A, B$ は正方形 $D$ の範囲に含まれる。よって、 $0 < a \le 1$ かつ $0 < b \le 1$ である。

正三角形 $ABC$ が正方形 $D$ に含まれるためには、 $C$ も正方形 $D$ に含まれていなければならない。

$C$ の座標は $0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le 1$ を満たす必要がある。

$0 \le \frac{a + \sqrt{3} b}{2} \le 1$ より $0 \le a + \sqrt{3} b \le 2$

$0 \le \frac{b - \sqrt{3} a}{2} \le 1$ より $0 \le b - \sqrt{3} a \le 2$

$a, b > 0$ なので $a > 0$, $b > \sqrt{3}a$ から $b > 0$ は自明。

$a + \sqrt{3} b \le 2$ かつ $b - \sqrt{3} a \le 2$ を満たす $a, b$ の範囲を考える。

$0 < a \le 1$ かつ $\sqrt{3} a < b \le 1$ である。

$b \le 1$ より $a + \sqrt{3} \le 2$ なので、 $a \le 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$

また、$a + \sqrt{3} b \le 2$ より $b \le \frac{2 - a}{\sqrt{3}}$

$b - \sqrt{3} a \le 2$ より $b \le 2 + \sqrt{3} a$

$\sqrt{3} a < b \le \min(1, \frac{2-a}{\sqrt{3}})$ が条件となる。

$\sqrt{3}a = 1$ より $a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$

$\sqrt{3}a = \frac{2-a}{\sqrt{3}}$ より $3a = 2 - a$ なので $a = \frac{1}{2}$

$\frac{2 - \frac{1}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a \le \frac{1}{2}$ のとき、$\sqrt{3}a < b \le \frac{2-a}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{2} < a \le 1$ のとき、$\sqrt{3}a < b \le 1$

また、$b \le 1$ を満たす範囲

3. 最終的な答え

$ab$ 平面上に以下の範囲を図示する。

$a > 0$, $b > 0$ であり、

$b > \sqrt{3} a$

$a + \sqrt{3} b \le 2$

$b - \sqrt{3} a \le 2$

$\frac{1}{2}$は$2 - \sqrt{3} \approx 0.268$ と$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$の間の数なので、

$0 < a \le \frac{1}{2}$のとき、 $\sqrt{3} a < b \le (2 - a) / \sqrt{3}$

$\frac{1}{2} < a \le \frac{2}{\sqrt{3}} - 1$ のとき $\sqrt{3} a < b \le 1$

最終的に、$0 < a \le \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$のとき、$\sqrt{3} a < b \le 1$