$AB=5$, $BC=9$, $CA=6$ である三角形$ABC$において、頂点$A$から辺$BC$に下ろした垂線$AH$の長さを求める。

1. 問題の内容

$AB=5$, $BC=9$, $CA=6$ である三角形$ABC$において、頂点$A$から辺$BC$に下ろした垂線$AH$の長さを求める。

2. 解き方の手順

$BH = x$ とおくと、$CH = 9 - x$ となる。

三角形$ABH$は直角三角形なので、$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$。

三角形$ACH$は直角三角形なので、$AH^2 = AC^2 - CH^2 = 6^2 - (9-x)^2 = 36 - (81 - 18x + x^2) = 36 - 81 + 18x - x^2 = -45 + 18x - x^2$。

よって、

$25 - x^2 = -45 + 18x - x^2$

$25 + 45 = 18x$

$70 = 18x$

$x = \frac{70}{18} = \frac{35}{9}$

$AH^2 = 25 - x^2 = 25 - (\frac{35}{9})^2 = 25 - \frac{1225}{81} = \frac{2025 - 1225}{81} = \frac{800}{81}$

$AH = \sqrt{\frac{800}{81}} = \frac{\sqrt{800}}{9} = \frac{\sqrt{400 \cdot 2}}{9} = \frac{20\sqrt{2}}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{20\sqrt{2}}{9}$