地面を原点とする鉛直上向きの$y$軸上に、時刻0に物体Aを初速度$V$で投げ上げると同時に、高さ$H$の位置から物体Bを自由落下させる。物体Aと物体Bが空中で衝突する状況を考える。重力加速度の大きさを$g$とする。 (1) 物体Aと物体Bが衝突する時刻$t$を求めよ。 (2) 物体Aと物体Bが衝突する位置の$y$座標を求めよ。 (3) この衝突が起こるためには、$V$はどのような値でなければならないか。

1. 問題の内容

地面を原点とする鉛直上向きの$y$軸上に、時刻0に物体Aを初速度$V$で投げ上げると同時に、高さ$H$の位置から物体Bを自由落下させる。物体Aと物体Bが空中で衝突する状況を考える。重力加速度の大きさを$g$とする。

(1) 物体Aと物体Bが衝突する時刻$t$を求めよ。

(2) 物体Aと物体Bが衝突する位置の$y$座標を求めよ。

(3) この衝突が起こるためには、$V$はどのような値でなければならないか。

2. 解き方の手順

(1) 衝突する時刻$t$を求める。

物体Aの$t$秒後の位置$y_A$は、

$y_A = Vt - \frac{1}{2}gt^2$

物体Bの$t$秒後の位置$y_B$は、

$y_B = H - \frac{1}{2}gt^2$

衝突するとき、$y_A = y_B$だから、

$Vt - \frac{1}{2}gt^2 = H - \frac{1}{2}gt^2$

$Vt = H$

$t = \frac{H}{V}$

(2) 衝突する位置の$y$座標を求める。

(1)で求めた$t$を$y_A$の式に代入すると、

$y_A = V\left(\frac{H}{V}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{H}{V}\right)^2$

$y_A = H - \frac{gH^2}{2V^2}$

(3) 衝突が起こるためには、$t > 0$かつ$y_A > 0$である必要がある。

$t = \frac{H}{V} > 0$より、$V > 0$が必要。

$y_A = H - \frac{gH^2}{2V^2} > 0$より、$H > \frac{gH^2}{2V^2}$

$1 > \frac{gH}{2V^2}$

$2V^2 > gH$

$V^2 > \frac{gH}{2}$

$V > \sqrt{\frac{gH}{2}}$

したがって、衝突が起こるためには、$V > \sqrt{\frac{gH}{2}}$が必要。

3. 最終的な答え

(1) $t = \frac{H}{V}$

(2) $y = H - \frac{gH^2}{2V^2}$

(3) $V > \sqrt{\frac{gH}{2}}$