一辺が4cmの正方形を底面、高さが6cmの直方体ABCD-EFGHがある。ACとDBの交点をP、辺EF, FG, GH, HEの中点をそれぞれQ, R, S, Tとする。このとき、四角錐P-QRSTの体積を求める。

## 解答

1. 問題の内容

一辺が4cmの正方形を底面、高さが6cmの直方体ABCD-EFGHがある。ACとDBの交点をP、辺EF, FG, GH, HEの中点をそれぞれQ, R, S, Tとする。このとき、四角錐P-QRSTの体積を求める。

2. 解き方の手順

四角錐P-QRSTの体積を求めるには、底面積QRSTと高さAPが必要です。

まず、底面QRSTについて考えます。

QRSTは正方形EFGHの中点を結んだ四角形なので、正方形です。

その一辺の長さはEFの半分の$\frac{1}{2} \times 4 = 2$cmです。

したがって、正方形QRSTの面積は$2 \times 2 = 4$cm$^2$です。

次に、四角錐P-QRSTの高さについて考えます。

Pは正方形ABCDの対角線の交点なので、Pは正方形ABCDの中心に位置します。

よって、Pは正方形EFGHの真上にあり、APは直方体の高さと同じ6cmです。

したがって、四角錐P-QRSTの高さは6cmです。

四角錐の体積の公式は、

$V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$

これに値を代入すると、

$V = \frac{1}{3} \times 4 \times 6 = 8$cm$^3$

3. 最終的な答え

8 cm$^3$