$\theta$ は鋭角であり、$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であり、$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ が与えられています。

まず、三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を利用します。

$1 + \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + \frac{1}{5} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{6}{5} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{5}{6}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ です。よって、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用します。

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

したがって、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{6}}$、$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ です。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{6}}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

選択肢2が正解です。