直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形について、斜辺の長さを $l$ とするとき、$l^2$ の最小値と、$l$ が最小となるときの直角三角形の3辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形について、斜辺の長さを $l$ とするとき、$l^2$ の最小値と、$l$ が最小となるときの直角三角形の3辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

直角を挟む2辺の長さを $x, y$ とおく。

$x + y = 12$ であるから、$y = 12 - x$ となる。

三平方の定理より、$l^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (12-x)^2 = x^2 + 144 - 24x + x^2 = 2x^2 - 24x + 144$

$l^2$ を $x$ について平方完成すると、$l^2 = 2(x^2 - 12x) + 144 = 2(x^2 - 12x + 36 - 36) + 144 = 2(x-6)^2 - 72 + 144 = 2(x-6)^2 + 72$

したがって、$l^2$ は $x = 6$ のとき最小値72をとる。このとき、$y = 12 - x = 12 - 6 = 6$ である。

$x = 6, y = 6$ のとき、$l = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

したがって、$l$ が最小となるときの3辺の長さは、$6, 6, 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$l^2$ の最小値は72である。

$l$ が最小となるときの直角三角形の3辺の長さは、$6, 6, 6\sqrt{2}$ である。