$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AC$ を $1:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $MN$ を $3:2$ に内分する点を $P$ とする。$\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AC$ を $1:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $MN$ を $3:2$ に内分する点を $P$ とする。$\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AM}$ と $\vec{AN}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表します。

$M$ は辺 $AB$ の中点なので、

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

$N$ は辺 $AC$ を $1:2$ に内分する点なので、

$\vec{AN} = \frac{1}{1+2}\vec{AC} = \frac{1}{3}\vec{AC}$

次に、$\vec{AP}$ を $\vec{AM}$ と $\vec{AN}$ を用いて表します。

$P$ は線分 $MN$ を $3:2$ に内分する点なので、

$\vec{AP} = \frac{2\vec{AM} + 3\vec{AN}}{3+2} = \frac{2\vec{AM} + 3\vec{AN}}{5}$

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ と $\vec{AN} = \frac{1}{3}\vec{AC}$ を代入すると、

$\vec{AP} = \frac{2(\frac{1}{2}\vec{AB}) + 3(\frac{1}{3}\vec{AC})}{5} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{5} = \frac{1}{5}\vec{AB} + \frac{1}{5}\vec{AC}$

3. 最終的な答え

$\vec{AP} = \frac{1}{5}\vec{AB} + \frac{1}{5}\vec{AC}$