曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と直線 $y = k$ が4点で交わるとき、以下の問いに答える。 (1) $k$ のとり得る値の範囲を求める。 (2) 曲線と直線で囲まれた図形において、$y > k$ の部分の面積と $y < k$ の部分の面積が等しいとき、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と直線 $y = k$ が4点で交わるとき、以下の問いに答える。

(1) $k$ のとり得る値の範囲を求める。

(2) 曲線と直線で囲まれた図形において、$y > k$ の部分の面積と $y < k$ の部分の面積が等しいとき、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^4 + 2x^2$ のグラフを描き、$y = k$ との交点が4つになるような $k$ の範囲を求める。

$y = -x^4 + 2x^2$ を $x^2 = t$ とおくと、 $y = -t^2 + 2t = -(t-1)^2 + 1$ となる。

$t = 1$ のとき $y = 1$ であり、 $t \geq 0$ であるから、$y = -x^4 + 2x^2$ のグラフは $x = 0$ で極小値0をとり、$x = \pm 1$ で極大値1をとる。また、$x \rightarrow \pm \infty$ で $y \rightarrow -\infty$ である。

したがって、$y = -x^4 + 2x^2$ と $y = k$ が4点で交わるためには、$0 < k < 1$ である必要がある。

(2) 曲線と直線で囲まれた図形について、$y > k$ の部分の面積と $y < k$ の部分の面積が等しいとき、$k$ の値を求める。

曲線と直線で囲まれた図形の面積をSとする。$y > k$ の部分の面積と $y < k$ の部分の面積が等しいので、$y > k$ の部分の面積は $S/2$ であり、$y < k$ の部分の面積も $S/2$ である。

曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と $y = k$ で囲まれた図形の面積を求めるには、$-x^4 + 2x^2 = k$ を解いて、交点の $x$ 座標を求める必要がある。

$-x^4 + 2x^2 - k = 0$ を解くのは難しいので、$y > k$ の部分の面積と $y < k$ の部分の面積が等しいという条件から考える。曲線と直線で囲まれた図形の面積を $S$ とすると、$\int_{-\alpha}^{\alpha} (-x^4+2x^2-k) dx = 0$ となる必要がある。ここで、$\pm \alpha$ は交点の $x$ 座標である。

$\int_{-\infty}^{\infty} (-x^4+2x^2-k)dx = 0$ となるのは、$k = 0$ のときである。

$k = 0$ のとき、$-x^4 + 2x^2 = 0$ より、 $x^2(-x^2 + 2) = 0$ であり、$x = 0, \pm \sqrt{2}$ となる。

このとき、曲線と $y = 0$ で囲まれた面積は、$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^4+2x^2) dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (-x^4+2x^2) dx = 2 [-\frac{1}{5} x^5 + \frac{2}{3} x^3]_0^{\sqrt{2}} = 2 [-\frac{1}{5} (4 \sqrt{2}) + \frac{2}{3} (2 \sqrt{2})] = 2 \sqrt{2} [-\frac{4}{5} + \frac{4}{3}] = 2 \sqrt{2} [\frac{-12+20}{15}] = \frac{16 \sqrt{2}}{15}$ である。

この面積を二等分するようなkの値は、k=0である。

3. 最終的な答え

(1) $0 < k < 1$

(2) $k = 0$