全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U)=20$, $n(A \cup B)=17$, $n(A)=13$, $n(B)=9$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求める。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cap \overline{B}$

その他集合要素数補集合共通部分和集合
2025/5/15

1. 問題の内容

全体集合 UU の部分集合 AA, BB について、n(U)=20n(U)=20, n(AB)=17n(A \cup B)=17, n(A)=13n(A)=13, n(B)=9n(B)=9 であるとき、以下の集合の要素の個数を求める。
(1) A\overline{A}
(2) ABA \cap B
(3) AB\overline{A} \cap B
(4) ABA \cap \overline{B}

2. 解き方の手順

(1) A\overline{A} について
A\overline{A}AA の補集合であり、n(A)=n(U)n(A)n(\overline{A}) = n(U) - n(A) で求められる。
n(A)=2013=7n(\overline{A}) = 20 - 13 = 7
(2) ABA \cap B について
n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) の公式を利用する。
この式を n(AB)n(A \cap B) について解くと、
n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)
n(AB)=13+917=5n(A \cap B) = 13 + 9 - 17 = 5
(3) AB\overline{A} \cap B について
AB\overline{A} \cap B は、BB のうち AA に含まれない部分である。
これは、BB から ABA \cap B を除いたものなので、n(AB)=n(B)n(AB)n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) で求められる。
n(AB)=95=4n(\overline{A} \cap B) = 9 - 5 = 4
(4) ABA \cap \overline{B} について
ABA \cap \overline{B} は、AA のうち BB に含まれない部分である。
これは、AA から ABA \cap B を除いたものなので、n(AB)=n(A)n(AB)n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) で求められる。
n(AB)=135=8n(A \cap \overline{B}) = 13 - 5 = 8

3. 最終的な答え

(1) n(A)=7n(\overline{A}) = 7
(2) n(AB)=5n(A \cap B) = 5
(3) n(AB)=4n(\overline{A} \cap B) = 4
(4) n(AB)=8n(A \cap \overline{B}) = 8

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