全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U)=20$, $n(A \cup B)=17$, $n(A)=13$, $n(B)=9$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求める。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U)=20$, $n(A \cup B)=17$, $n(A)=13$, $n(B)=9$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求める。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cap B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ について

$\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$ で求められる。

$n(\overline{A}) = 20 - 13 = 7$

(2) $A \cap B$ について

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ の公式を利用する。

この式を $n(A \cap B)$ について解くと、

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$

$n(A \cap B) = 13 + 9 - 17 = 5$

(3) $\overline{A} \cap B$ について

$\overline{A} \cap B$ は、$B$ のうち $A$ に含まれない部分である。

これは、$B$ から $A \cap B$ を除いたものなので、$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ で求められる。

$n(\overline{A} \cap B) = 9 - 5 = 4$

(4) $A \cap \overline{B}$ について

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ のうち $B$ に含まれない部分である。

これは、$A$ から $A \cap B$ を除いたものなので、$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$ で求められる。

$n(A \cap \overline{B}) = 13 - 5 = 8$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 7$

(2) $n(A \cap B) = 5$

(3) $n(\overline{A} \cap B) = 4$

(4) $n(A \cap \overline{B}) = 8$