曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と直線 $y = k$ (kは定数) が4点で交わるとき、以下の問いに答える。 (1) k の取り得る値の範囲を求める。 (2) 曲線と直線で囲まれた図形について、$y > k$ の部分の面積と、$y < k$ の部分の面積が等しいとき、k の値を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と直線 $y = k$ (kは定数) が4点で交わるとき、以下の問いに答える。

(1) k の取り得る値の範囲を求める。

(2) 曲線と直線で囲まれた図形について、$y > k$ の部分の面積と、$y < k$ の部分の面積が等しいとき、k の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = -x^4 + 2x^2$ のグラフの概形を調べる。

$y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = -4x(x-1)(x+1)$

$y' = 0$ となるのは $x = -1, 0, 1$ のときである。

$x < -1$ のとき $y' > 0$, $-1 < x < 0$ のとき $y' < 0$, $0 < x < 1$ のとき $y' > 0$, $x > 1$ のとき $y' < 0$

よって、$x = -1$ で極大値 $y = -1 + 2 = 1$, $x = 0$ で極小値 $y = 0$, $x = 1$ で極大値 $y = -1 + 2 = 1$ をとる。

また、$\lim_{x \to \infty} y = -\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$ である。

したがって、$y = -x^4 + 2x^2$ のグラフは W 字型になる。

曲線 $y = -x^4 + 2x^2$ と直線 $y = k$ が4点で交わるためには、直線 $y = k$ が極小値と極大値の間にある必要がある。

極小値は 0, 極大値は 1 であるから、$0 < k < 1$。

(2)

$y = -x^4 + 2x^2$ と $y = k$ で囲まれた図形について、$y > k$ の部分の面積と、$y < k$ の部分の面積が等しいとき、$k = 0$ である。これは、$\int_{-\alpha}^{\alpha} (-x^4 + 2x^2) dx = 0$となる$k$を求めることになる。

2つの面積が等しいということは、$\int_{-\alpha}^{\alpha} (-x^4 + 2x^2 - k)dx = 0$ が成り立つ。ここで$\alpha$は$-x^4+2x^2 = k$の解の正の値である。

$k = 0$ のとき、$-x^4 + 2x^2 = 0$ より $x^2(-x^2 + 2) = 0$ となり、$x = 0, \pm \sqrt{2}$ となる。

このとき、$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^4 + 2x^2) dx = 2\int_0^{\sqrt{2}} (-x^4 + 2x^2) dx = 2[-\frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3]_0^{\sqrt{2}} = 2[-\frac{1}{5}4\sqrt{2} + \frac{2}{3}2\sqrt{2}] = 2[-\frac{4\sqrt{2}}{5} + \frac{4\sqrt{2}}{3}] = 8\sqrt{2} [\frac{1}{3} - \frac{1}{5}] = 8\sqrt{2} \frac{2}{15} = \frac{16\sqrt{2}}{15}$.

曲線と直線で囲まれた領域で、$y>k$の部分と$y<k$の部分の面積が等しいということは、曲線$y=-x^4+2x^2$を囲む領域の面積の中心を通る必要がある。

したがって、$\int_{-a}^a (-x^4+2x^2 - k) dx = 0$

$2 \int_{0}^{a} (-x^4+2x^2 - k) dx = 0$

$\int_{0}^{a} (-x^4+2x^2 - k) dx = 0$

$[-\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3-kx]_{0}^{a} = 0$

$-\frac{1}{5}a^5+\frac{2}{3}a^3-ka = 0$

$a \neq 0$なので、$-\frac{1}{5}a^4+\frac{2}{3}a^2-k = 0$ となる。

$-x^4+2x^2 = k$ の解が $x = a$ なので、$-a^4+2a^2 = k$

$-\frac{1}{5}a^4+\frac{2}{3}a^2=a^2(-\frac{1}{5}a^2+\frac{2}{3}) = -a^4+2a^2 = a^2(-a^2+2)$

$-\frac{1}{5}a^4 + \frac{2}{3}a^2 = k$ に $-a^4 + 2a^2 = k$を代入すると、

$-\frac{1}{5}a^4 + \frac{2}{3}a^2 = -a^4 + 2a^2$

$\frac{4}{5}a^4 - \frac{4}{3}a^2 = 0$

$\frac{4}{15}a^2(3a^2 - 5) = 0$

$a^2 = \frac{5}{3}$

$k = -(\frac{5}{3})^2 + 2(\frac{5}{3}) = -\frac{25}{9} + \frac{10}{3} = \frac{-25+30}{9} = \frac{5}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $0 < k < 1$

(2) $k = \frac{5}{9}$