$y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、与えられた式 $y = x + \frac{x^3}{(ア)} + \frac{\sin \theta x ((イ) + \sin^2 \theta x)}{(ウ) \cos^5 \theta x} x^4$ と比較して、(ア), (イ), (ウ) に入る適切な数値を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、与えられた式 $y = x + \frac{x^3}{(ア)} + \frac{\sin \theta x ((イ) + \sin^2 \theta x)}{(ウ) \cos^5 \theta x} x^4$ と比較して、(ア), (イ), (ウ) に入る適切な数値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan x$ のマクローリン展開を求めます。

$\tan x$ の導関数を計算します。

$f(x) = \tan x$

$f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$

$f''(x) = 2 \tan x \sec^2 x = 2 \tan x (1 + \tan^2 x) = 2 \tan x + 2 \tan^3 x$

$f'''(x) = 2 \sec^2 x + 6 \tan^2 x \sec^2 x = 2 (1 + \tan^2 x) + 6 \tan^2 x (1 + \tan^2 x) = 2 + 8 \tan^2 x + 6 \tan^4 x$

$f^{(4)}(x) = 16 \tan x \sec^2 x + 24 \tan^3 x \sec^2 x = 16 \tan x (1 + \tan^2 x) + 24 \tan^3 x (1 + \tan^2 x) = 16 \tan x + 40 \tan^3 x + 24 \tan^5 x$

$x=0$ での値を計算します。

$f(0) = \tan 0 = 0$

$f'(0) = 1 + \tan^2 0 = 1$

$f''(0) = 2 \tan 0 + 2 \tan^3 0 = 0$

$f'''(0) = 2 + 8 \tan^2 0 + 6 \tan^4 0 = 2$

$f^{(4)}(0) = 16 \tan 0 + 40 \tan^3 0 + 24 \tan^5 0 = 0$

マクローリン展開の公式は $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \cdots$ です。

$\tan x = 0 + 1x + \frac{0}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 + \frac{0}{24}x^4 + \cdots = x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$

したがって、$y = x + \frac{x^3}{3} + \frac{\sin \theta x (1 + \sin^2 \theta x)}{k \cos^5 \theta x} x^4$ となります。

$\tan x$ のマクローリン展開の5次の項は $\frac{2}{15} x^5$である。

したがって、$\frac{d^5}{dx^5}\tan x|_{x=0} = 16 \sec^2 x \tan^2 x + 16\sec^4 x + 72 \sec^2 x \tan^4 x + 96 \sec^4 x \tan^2 x = 16$

$\frac{16}{5!}x^5 = \frac{16}{120}x^5 = \frac{2}{15} x^5$

$y = x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$ なので、与えられた式の $x^4$ の項は剰余項を表しています。問題文で、この剰余項の形が与えられているので、$\frac{\sin \theta x ((イ) + \sin^2 \theta x)}{(ウ) \cos^5 \theta x}$ の形を考えます。ここで問題はマクローリン展開を $n=4$ までとあるので、$\frac{2}{15}x^5$の5次の項の評価は必要ありません。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$ より、$y = x + \frac{x^3}{3} + \frac{\sin \theta x (1 + \sin^2 \theta x)}{(ウ) \cos^5 \theta x} x^4(0<\theta<1)$ と比較します。

$\frac{x^3}{(ア)} = \frac{x^3}{3}$ より、(ア) = 3

与えられた剰余項の形からすると (イ) = 1, (ウ) = 2となる。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 1

ウ: 2