関数 $f(x)$ が、$f(x) + (x+2)f'(x) = 9x^2 + 8x - 3$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が、$f(x) + (x+2)f'(x) = 9x^2 + 8x - 3$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、積の微分公式に似た形をしている。

式全体に $x+2$ をかけると以下のようになる。

$(x+2)f(x) + (x+2)^2f'(x) = (9x^2 + 8x - 3)(x+2)$

左辺は、$(x+2)f(x)$ の微分になっていることがわかる。

つまり、$((x+2)f(x))' = (x+2)f'(x) + f(x)$ である。

右辺を展開すると、$9x^3+26x^2+13x-6$ となる。

したがって、

$\frac{d}{dx} [(x+2)f(x)] = 9x^3 + 26x^2 + 13x - 6$

両辺を $x$ で積分すると、

$(x+2)f(x) = \int (9x^3 + 26x^2 + 13x - 6) dx$

$(x+2)f(x) = \frac{9}{4}x^4 + \frac{26}{3}x^3 + \frac{13}{2}x^2 - 6x + C$

ここで、$C$ は積分定数である。

$f(x)$ を求めると、

$f(x) = \frac{1}{x+2} (\frac{9}{4}x^4 + \frac{26}{3}x^3 + \frac{13}{2}x^2 - 6x + C)$

元の式に戻って、$x=-2$ を代入してみる。すると、

$f(-2) + 0 \cdot f'(-2) = 9(-2)^2 + 8(-2) - 3 = 36 - 16 - 3 = 17$

つまり、$f(-2) = 17$となる。

$(x+2)f(x) = \frac{9}{4}x^4 + \frac{26}{3}x^3 + \frac{13}{2}x^2 - 6x + C$で、$x=-2$とすると、左辺は$0$になるので、

$\frac{9}{4}(-2)^4 + \frac{26}{3}(-2)^3 + \frac{13}{2}(-2)^2 - 6(-2) + C = 0$

$36 - \frac{208}{3} + 26 + 12 + C = 0$

$74 - \frac{208}{3} + C = 0$

$\frac{222 - 208}{3} + C = 0$

$\frac{14}{3} + C = 0$

$C = -\frac{14}{3}$

したがって

$f(x) = \frac{\frac{9}{4}x^4 + \frac{26}{3}x^3 + \frac{13}{2}x^2 - 6x -\frac{14}{3}}{x+2}$

$f(x) = 3x^2 + 2x - 7$ を仮定する。すると $f'(x)=6x+2$ となり、

$f(x) + (x+2)f'(x) = (3x^2+2x-7) + (x+2)(6x+2) = 3x^2+2x-7 + 6x^2+14x+4 = 9x^2+16x-3$となる。

これは $9x^2+8x-3$と異なるため、$f(x) = 3x^2+2x-7$ではない。

$f(x) = ax^2+bx+c$とすると、$f'(x) = 2ax+b$なので、

$ax^2+bx+c + (x+2)(2ax+b) = 9x^2+8x-3$

$ax^2+bx+c + 2ax^2 + 4ax + bx + 2b = 9x^2+8x-3$

$3ax^2 + (4a+2b)x + (c+2b) = 9x^2 + 8x - 3$

$3a = 9$より、$a=3$

$4a+2b = 12+2b = 8$より、$2b = -4$なので、$b=-2$

$c+2b = c-4 = -3$より、$c=1$

したがって、$f(x) = 3x^2-2x+1$

3. 最終的な答え

$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$