問1：不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を求めよ。 問2：定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

問1：不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を求めよ。

問2：定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問1：

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ と変形する。

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$) を用いる。

このとき、$n = -\frac{1}{2}$ なので、$n+1 = \frac{1}{2}$ となる。

したがって、

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

となる。

問2：

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ である。

$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ であることを利用する。

定積分の定義から、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x dx = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1$

となる。

3. 最終的な答え

問1：$2\sqrt{x} + C$

問2：1