関数 $y = \cos x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、与えられた式の空欄を埋める。ここで、空欄(ア)と(ウ)には半角数字を入力し、空欄(イ)は選択肢から適切なものを選ぶ。与えられた式は以下の通り。 $y = 1 - \frac{x^2}{ア!} + \frac{イ \theta x}{ウ!} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、与えられた式の空欄を埋める。ここで、空欄(ア)と(ウ)には半角数字を入力し、空欄(イ)は選択肢から適切なものを選ぶ。与えられた式は以下の通り。

$y = 1 - \frac{x^2}{ア!} + \frac{イ \theta x}{ウ!} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$

2. 解き方の手順

$\cos x$ のマクローリン展開は以下のようになる。

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

これは、剰余項を含めて

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{\cos(2\theta x)}{4!} x^4$

となる。ここで、$0 < \theta < 1$。

与えられた式と比較すると、

ア = 2

イ = cos

ウ = 4

となる。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: cos

ウ: 4