与えられた関数 $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を指数関数として書き換えます。

$y = (x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}$

次に、合成関数の微分法（chain rule）を適用します。つまり、 $y=u^{\frac{1}{3}}$ と $u=x^2+1$ とおくと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3(x^2+1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$