与えられた定積分を計算します。具体的には、関数 $x^3 - 3x^2 + x$ を $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ から $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ まで積分し、その結果に -1 を掛けます。つまり、 $-\int_{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} (x^3 - 3x^2 + x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。具体的には、関数 $x^3 - 3x^2 + x$ を $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ から $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ まで積分し、その結果に -1 を掛けます。つまり、

$-\int_{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} (x^3 - 3x^2 + x) dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分する関数 $x^3 - 3x^2 + x$ の不定積分を求めます。

$\int (x^3 - 3x^2 + x) dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分の値を計算します。積分の上限を $b = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$、下限を $a = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ とすると、

$\int_a^b (x^3 - 3x^2 + x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} \right]_a^b = \left( \frac{b^4}{4} - b^3 + \frac{b^2}{2} \right) - \left( \frac{a^4}{4} - a^3 + \frac{a^2}{2} \right)$

この値を計算する前に、$b$ と $a$ について、以下を計算します。

$b = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$a = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$b+a = 3$

$b-a = \sqrt{5}$

$b^2 = \frac{(3+\sqrt{5})^2}{4} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

$a^2 = \frac{(3-\sqrt{5})^2}{4} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

$b^3 = b \cdot b^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{7+3\sqrt{5}}{2} = \frac{21 + 9\sqrt{5} + 7\sqrt{5} + 15}{4} = \frac{36 + 16\sqrt{5}}{4} = 9+4\sqrt{5}$

$a^3 = a \cdot a^2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{21 - 9\sqrt{5} - 7\sqrt{5} + 15}{4} = \frac{36 - 16\sqrt{5}}{4} = 9-4\sqrt{5}$

$b^4 = (b^2)^2 = \left( \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{49 + 42\sqrt{5} + 45}{4} = \frac{94 + 42\sqrt{5}}{4} = \frac{47+21\sqrt{5}}{2}$

$a^4 = (a^2)^2 = \left( \frac{7-3\sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{49 - 42\sqrt{5} + 45}{4} = \frac{94 - 42\sqrt{5}}{4} = \frac{47-21\sqrt{5}}{2}$

$\frac{b^4}{4} = \frac{47+21\sqrt{5}}{8}$

$\frac{a^4}{4} = \frac{47-21\sqrt{5}}{8}$

$\frac{b^2}{2} = \frac{7+3\sqrt{5}}{4}$

$\frac{a^2}{2} = \frac{7-3\sqrt{5}}{4}$

$\left( \frac{b^4}{4} - b^3 + \frac{b^2}{2} \right) - \left( \frac{a^4}{4} - a^3 + \frac{a^2}{2} \right) = \left( \frac{47+21\sqrt{5}}{8} - (9+4\sqrt{5}) + \frac{7+3\sqrt{5}}{4} \right) - \left( \frac{47-21\sqrt{5}}{8} - (9-4\sqrt{5}) + \frac{7-3\sqrt{5}}{4} \right)$

$= \frac{47+21\sqrt{5}}{8} - 9 - 4\sqrt{5} + \frac{14+6\sqrt{5}}{8} - \frac{47-21\sqrt{5}}{8} + 9 - 4\sqrt{5} - \frac{14-6\sqrt{5}}{8}$

$= \frac{47+21\sqrt{5} - 47 + 21\sqrt{5} + 14 + 6\sqrt{5} - 14 + 6\sqrt{5}}{8} - 8\sqrt{5}$

$= \frac{54\sqrt{5}}{8} - 8\sqrt{5} = \frac{27\sqrt{5}}{4} - \frac{32\sqrt{5}}{4} = -\frac{5\sqrt{5}}{4}$

最後に、この値に -1 を掛けるので、

$-\left( -\frac{5\sqrt{5}}{4} \right) = \frac{5\sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{5}}{4}$