$S(0) = - \int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$S(0) = - \int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を計算します。

$\int (x^3 - 2x^2) dx = \int x^3 dx - \int 2x^2 dx$

$x^3$ の積分は $x^4/4$ です。

$2x^2$ の積分は $2x^3/3$ です。

したがって、

$\int (x^3 - 2x^2) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 = \left(\frac{2^4}{4} - \frac{2 \cdot 2^3}{3}\right) - \left(\frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3}\right) = \frac{16}{4} - \frac{16}{3} = 4 - \frac{16}{3} = \frac{12 - 16}{3} = -\frac{4}{3}$

最後に、問題文にあるマイナスを掛けます。

$S(0) = - \int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx = - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$