与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(3k-1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(3k-1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開します。

$(k-1)(3k-1) = 3k^2 - k - 3k + 1 = 3k^2 - 4k + 1$

次に、シグマの性質を利用して、それぞれの項に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 4k + 1) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

上記の公式を代入すると、

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

式を整理します。

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - 2n(n+1) + n$

$= \frac{n}{2} [(n+1)(2n+1) - 4(n+1) + 2]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + 3n + 1 - 4n - 4 + 2]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 - n - 1]$

$= \frac{n(2n^2 - n - 1)}{2}$

$= \frac{n(n-1)(2n+1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(2n+1)}{2}$