与えられた式 $2x^2 - 6xy + 4y^2 + 5x - 9y + 2$ を因数分解することを試みます。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 6xy + 4y^2 + 5x - 9y + 2$ を因数分解することを試みます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$2x^2 + (-6y + 5)x + (4y^2 - 9y + 2) = 0$

次に、$4y^2 - 9y + 2$ を因数分解します。

$4y^2 - 9y + 2 = (4y - 1)(y - 2)$

与えられた式が因数分解できると仮定し、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると考えます。

$2x^2 - 6xy + 4y^2 + 5x - 9y + 2 = (2x + ay + b)(x + cy + d)$ と置きます。

$2x^2 + (a+2c)xy + acy^2 + (2d + b)x + (ad + bc)y + bd$

係数を比較すると、

$a + 2c = -6$

$ac = 4$

$2d + b = 5$

$ad + bc = -9$

$bd = 2$

$4y^2 - 9y + 2 = (4y - 1)(y - 2)$ であることから、

$2x^2 - 6xy + 4y^2 + 5x - 9y + 2 = (2x + ay + b)(x + cy + d) = (2x + ay + b)(x + \frac{4}{a}y + d)$

a = -4, c = -1 のとき

$2x - 4y + b$

$x - y + d$

$(2x - 4y + b)(x - y + d) = 2x^2 - 2xy - 4xy + 4y^2 + bx + 2xd - by - 4yd + bd$

$2x^2 - 6xy + 4y^2 + (b + 2d)x + (-b - 4d)y + bd = 2x^2 - 6xy + 4y^2 + 5x - 9y + 2$

$b + 2d = 5$

$-b - 4d = -9$

$bd = 2$

$-2d = -4$

$d = 2$

$b = 5 - 2d = 5 - 4 = 1$

$bd = 1(2) = 2$

したがって、$2x^2 - 6xy + 4y^2 + 5x - 9y + 2 = (2x - 4y + 1)(x - y + 2)$

3. 最終的な答え

$(2x - 4y + 1)(x - y + 2)$