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関数 $f(x) = \frac{3x+a}{x}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f^{-1}(4) = 1$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

代数学関数逆関数分数関数
2025/5/15

1. 問題の内容

関数 f(x)=3x+axf(x) = \frac{3x+a}{x} の逆関数 f−1(x)f^{-1}(x) について、f−1(4)=1f^{-1}(4) = 1 であるとき、定数 aa の値を求めよ。

2. 解き方の手順

f−1(4)=1f^{-1}(4) = 1 であることから、f(1)=4f(1) = 4 が成り立つ。
関数 f(x)f(x) の式に x=1x=1 を代入すると、
f(1)=3(1)+a1=3+af(1) = \frac{3(1)+a}{1} = 3+a
f(1)=4f(1) = 4 より、
3+a=43+a = 4
a=4−3a = 4-3
a=1a = 1

3. 最終的な答え

a=1a = 1

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