与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (y-3)x - (y^2 - 1)$

次に、定数項$-(y^2-1)$を因数分解します。

$-(y^2-1) = -(y-1)(y+1)$

ここで、たすき掛けを用いて因数分解を試みます。

$2x^2 + (y-3)x - (y-1)(y+1) = (2x+ay+b)(x+cy+d)$

たすき掛けを行うと、$2x^2 + (2cy+2d+ay+b)x+(acy^2+(ad+bc)y+bd)$となります。

$2cy+2d+ay+b = (a+2c)y + (b+2d) = y-3$

$acy^2+(ad+bc)y+bd = -y^2+1$

$a+2c=1$

$b+2d=-3$

$ac=-1$

$bd=1$

$ad+bc=0$

$ac=-1$より、aとcは符号が異なる。

$bd=1$より、$b=d=1$または$b=d=-1$

もし、$b=d=1$ならば、$b+2d = 1+2 = 3$となり、$b+2d=-3$を満たさない。

したがって、$b=d=-1$となる。

$a+2c=1$

$ac=-1$より、$a=1-2c$。これを$ac=-1$に代入すると、$c(1-2c)=-1$

$c-2c^2=-1$

$2c^2-c-1=0$

$(2c+1)(c-1)=0$

$c=1$または$c=-\frac{1}{2}$

$c=1$のとき、$a = 1 - 2(1) = -1$。$ad+bc=a(-1)+b(1) = -a+c=1+1=2$となり、$ad+bc=0$を満たさない。

$c=-\frac{1}{2}$のとき、$a=1-2(-\frac{1}{2})=2$。$ad+bc=2(-1)+(-1)(-\frac{1}{2}) = -2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$となり、$ad+bc=0$を満たさない。

別の方法で因数分解を試みる。

$2x^2+xy-y^2-3x+1= (x+y)(2x-y)$の形にする

$2x^2+xy-y^2 = (x+y)(2x-y)$

$2x^2 + xy - y^2 -3x + 1 = (x+y+a)(2x-y+b)$とおく。

$2x^2+xy-y^2 +bx +2ax-ay+ab = 2x^2 + xy - y^2 + (b+2a)x - ay + ab$

$b+2a = -3$

$-a=0$

$ab=1$

$-a=0$より$a=0$

$b+2a=-3$に代入して、$b=-3$

$ab=0\times -3=0$となり、$ab=1$を満たさない。

$2x^2+xy-y^2-3x+1=(2x+ay+b)(x+cy+d)$

$2x^2+2cxy+2dx+axy+acy^2+ady+bx+bcy+bd=2x^2+(2c+a)xy+acy^2+(2d+b)x+(ad+bc)y+bd$

$2c+a=1$

$ac=-1$

$2d+b=-3$

$ad+bc=0$

$bd=1$

$ac=-1$より、$c = -\frac{1}{a}$. $2c+a = -\frac{2}{a}+a = 1$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a-2)(a+1) = 0$

$a=2$または$a=-1$

もし、$a=2$なら$c=-\frac{1}{2}$.

$2d+b = -3$

$ad+bc = 2d-\frac{1}{2}b = 0$, $4d-b=0$

$b=4d$

$2d+4d=-3$, $6d=-3$, $d=-\frac{1}{2}$

$b=4d = -2$

$bd=(-\frac{1}{2})(-2)=1$

$(2x+2y-2)(x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}) = 2(x+y-1)(x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2})=(x+y-1)(2x-y-1)$

よって、$2x^2+xy-y^2-3x+1 = (x+y-1)(2x-y-1)$

3. 最終的な答え

$(x+y-1)(2x-y-1)$