1から100までの整数について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 2, 5, 7の少なくとも1つで割り切れる数の個数を求めます。 (2) 2では割り切れるが、5でも7でも割り切れない数の個数を求めます。

1. 問題の内容

1から100までの整数について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 2, 5, 7の少なくとも1つで割り切れる数の個数を求めます。

(2) 2では割り切れるが、5でも7でも割り切れない数の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2, 5, 7の少なくとも1つで割り切れる数の個数

- 2で割り切れる数の個数を$n(A)$、5で割り切れる数の個数を$n(B)$、7で割り切れる数の個数を$n(C)$とします。

- 包除原理を用いると、$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$で求められます。

- それぞれの個数を計算します。

- $n(A) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

- $n(B) = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

- $n(C) = \lfloor \frac{100}{7} \rfloor = 14$

- $n(A \cap B) = \lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$

- $n(A \cap C) = \lfloor \frac{100}{14} \rfloor = 7$

- $n(B \cap C) = \lfloor \frac{100}{35} \rfloor = 2$

- $n(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{100}{70} \rfloor = 1$

- $n(A \cup B \cup C) = 50 + 20 + 14 - 10 - 7 - 2 + 1 = 66$

(2) 2では割り切れるが、5でも7でも割り切れない数の個数

- 2で割り切れる数の集合を$A$とします。

- 5で割り切れる数の集合を$B$、7で割り切れる数の集合を$C$とします。

- 求めるのは、$A \cap B^c \cap C^c$の要素数です。これは$n(A) - n(A \cap (B \cup C))$で求められます。

- $n(A \cap (B \cup C)) = n((A \cap B) \cup (A \cap C)) = n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)$

- $n(A \cap B) = \lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$

- $n(A \cap C) = \lfloor \frac{100}{14} \rfloor = 7$

- $n(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{100}{70} \rfloor = 1$

- よって、$n(A \cap (B \cup C)) = 10 + 7 - 1 = 16$

- 求める個数は、$n(A) - n(A \cap (B \cup C)) = 50 - 16 = 34$

3. 最終的な答え

(1) 66個

(2) 34個