与えられた式 $2x^2 + (a-3)x - (a+1)(a-1)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + (a-3)x - (a+1)(a-1)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式は2次式なので、因数分解を試みます。

定数項 $-(a+1)(a-1)$ を展開します。

$-(a+1)(a-1) = -(a^2 - 1) = -a^2 + 1$

与えられた式は $2x^2 + (a-3)x - a^2 + 1$ となります。

たすき掛けを利用して因数分解できるか考えます。

$2x^2 + (a-3)x - (a^2 - 1) = (2x + A)(x + B)$ の形になるはずです。

このとき、

$AB = -a^2 + 1 = (1-a)(1+a)$

$2B + A = a - 3$

となる $A$ と $B$ を探します。

$A = 1+a$ 、 $B = 1-a$ とすると、

$AB = (1+a)(1-a) = 1-a^2 = -a^2 + 1$

$2B + A = 2(1-a) + (1+a) = 2 - 2a + 1 + a = 3 - a \neq a-3$

$A = a+1$、$B= -(a-1)$ とすると、

$AB = -(a+1)(a-1) = -a^2 + 1$

$2(-(a-1)) + (a+1) = -2a+2+a+1 = -a+3 = -(a-3)$

よって、$A=-(a+1)$、$B= a-1$ とすると、

$AB = -(a+1)(a-1) = -(a^2 - 1) = -a^2 + 1$

$2(a-1) - (a+1) = 2a - 2 -a -1 = a -3$

したがって、

$2x^2 + (a-3)x - (a+1)(a-1) = (2x - (a+1))(x + (a-1))$

$= (2x - a - 1)(x + a - 1)$

3. 最終的な答え

$(2x - a - 1)(x + a - 1)$