与えられた式 $\{(x+y)+1\}\{(x+y)-1\}\{(x-y)+1\}\{(x-y)-1\}$ を展開し、整理して最終的な形を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\{(x+y)+1\}\{(x+y)-1\}\{(x-y)+1\}\{(x-y)-1\}$ を展開し、整理して最終的な形を求める問題です。

2. 解き方の手順

与式は以下の通りです。

$\{(x+y)+1\}\{(x+y)-1\}\{(x-y)+1\}\{(x-y)-1\}$

まず、$(A+1)(A-1)=A^2-1$ の公式を使って、

$\{(x+y)+1\}\{(x+y)-1\} = (x+y)^2 - 1$

$\{(x-y)+1\}\{(x-y)-1\} = (x-y)^2 - 1$

したがって、与式は

$\{(x+y)^2-1\}\{(x-y)^2-1\}$

となります。

これを展開すると、

$(x+y)^2(x-y)^2 - (x+y)^2 - (x-y)^2 + 1$

となります。

$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ なので、

$(x+y)^2(x-y)^2 = \{(x+y)(x-y)\}^2 = (x^2-y^2)^2$

となります。

また、

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

なので、

$-(x+y)^2 - (x-y)^2 = -(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = -2x^2 - 2y^2$

となります。

したがって、与式は

$(x^2 - y^2)^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

となります。

$(x^2-y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$ なので、

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

となります。

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$