与えられた多項式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を$x$についての2次式とみて整理します。

$6x^2 + (-7y-6)x + (2y^2+5y-12)$

次に、定数項$2y^2+5y-12$を因数分解します。

$2y^2+5y-12=(2y-3)(y+4)$

与えられた式全体が因数分解できると仮定すると、$(ax+by+c)(dx+ey+f)$の形になるはずです。

$6x^2 - 7xy + 2y^2$の部分に注目すると、$6x^2 - 7xy + 2y^2 = (2x-y)(3x-2y)$であることがわかります。

そこで、$(2x-y+a)(3x-2y+b)$の形になると仮定して展開します。

$(2x-y+a)(3x-2y+b)=6x^2-4xy+2bx-3xy+2y^2-by+3ax-ay+ab$

$=6x^2-7xy+2y^2+(2b+3a)x+(-b-a)y+ab$

元の式と比較すると、

$2b+3a=-6$

$-b-a=5$

$ab=-12$

$-b-a=5$より$b = -a-5$です。これを$2b+3a=-6$に代入すると、

$2(-a-5)+3a=-6$

$-2a-10+3a=-6$

$a=4$

よって、$b=-a-5=-4-5=-9$

また、$ab=4(-9)=-36$となり、$ab=-12$を満たしません。

では、$6x^2 - 7xy + 2y^2$を$(3x-2y)(2x-y)$と因数分解してみます。

$(3x-2y+a)(2x-y+b)=6x^2-3xy+3bx-4xy+2y^2-2ay+2ax-ay+ab$

$=6x^2-7xy+2y^2+(3b+2a)x+(-2a-b)y+ab$

元の式と比較すると、

$3b+2a=-6$

$-2a-b=5$

$ab=-12$

$-2a-b=5$より$b = -2a-5$です。これを$3b+2a=-6$に代入すると、

$3(-2a-5)+2a=-6$

$-6a-15+2a=-6$

$-4a=9$

$a = -\frac{9}{4}$

$b = -2a-5 = -2(-\frac{9}{4})-5 = \frac{9}{2}-5 = -\frac{1}{2}$

$ab = (-\frac{9}{4})(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{8} \ne -12$

与えられた式を$y$について整理します。

$2y^2 + (-7x+5)y + (6x^2-6x-12)$

$= 2y^2 + (-7x+5)y + 6(x^2-x-2)$

$= 2y^2 + (-7x+5)y + 6(x-2)(x+1)$

改めて$(ax+by+c)(dx+ey+f)$の形で考えてみます。

$(3x-2y+A)(2x-y+B)$を考えます。

$6x^2 - 3xy +3Bx - 4xy + 2y^2 -2By + 2Ax-Ay+AB = 6x^2-7xy+2y^2+(3B+2A)x+(-2B-A)y+AB$

$3B+2A=-6$, $-2B-A=5$, $AB=-12$

$A = -2B-5$より、

$3B+2(-2B-5) = -6$

$3B - 4B - 10 = -6$

$-B = 4$

$B = -4$

$A = -2B - 5 = -2(-4) - 5 = 8 - 5 = 3$

$AB = (3)(-4) = -12$

したがって、$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12 = (3x - 2y + 3)(2x - y - 4)$

3. 最終的な答え

$(3x-2y+3)(2x-y-4)$