次の4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^4 - 2x^2 - 8$ (2) $x^4 - 17x^2 + 16$ (3) $x^4 - 8x^2 + 16$ (4) $x^4 - 81$

1. 問題の内容

次の4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^4 - 2x^2 - 8$

(2) $x^4 - 17x^2 + 16$

(3) $x^4 - 8x^2 + 16$

(4) $x^4 - 81$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 2x^2 - 8$

$x^2 = X$ と置換すると、$X^2 - 2X - 8$ となります。

これを因数分解すると、$(X - 4)(X + 2)$ となります。

$X$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 4)(x^2 + 2)$ となります。

$x^2 - 4$ は $(x - 2)(x + 2)$ と因数分解できるので、最終的な答えは $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2)$ となります。

(2) $x^4 - 17x^2 + 16$

$x^2 = X$ と置換すると、$X^2 - 17X + 16$ となります。

これを因数分解すると、$(X - 1)(X - 16)$ となります。

$X$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 1)(x^2 - 16)$ となります。

$x^2 - 1$ は $(x - 1)(x + 1)$、$x^2 - 16$ は $(x - 4)(x + 4)$ と因数分解できるので、最終的な答えは $(x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4)$ となります。

(3) $x^4 - 8x^2 + 16$

$x^2 = X$ と置換すると、$X^2 - 8X + 16$ となります。

これは $(X - 4)^2$ と因数分解できます。

$X$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 4)^2$ となります。

$x^2 - 4$ は $(x - 2)(x + 2)$ と因数分解できるので、最終的な答えは $((x - 2)(x + 2))^2 = (x - 2)^2(x + 2)^2$ となります。

(4) $x^4 - 81$

これは $(x^2)^2 - 9^2$ と見ることができるので、和と差の積の公式を利用できます。

よって、$(x^2 - 9)(x^2 + 9)$ となります。

$x^2 - 9$ は $(x - 3)(x + 3)$ と因数分解できるので、最終的な答えは $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2)$

(2) $(x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4)$

(3) $(x - 2)^2(x + 2)^2$

(4) $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$