与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。分母 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ の共役な複素数は $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ です。

したがって、

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\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

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分子は $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ となります。

分母は $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$ となり、これは和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いて計算できます。

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(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2

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したがって、

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\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}

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3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$