整数 $a, b$ があり、$a$ を 4 で割ると 3 余り、$b$ を 8 で割ると 5 余る。このとき、$a+b$ を 4 で割った余り、$2a-3b$ を 4 で割った余り、$a^2 - b^2$ を 4 で割った余りをそれぞれ求める。

1. 問題の内容

整数 $a, b$ があり、$a$ を 4 で割ると 3 余り、$b$ を 8 で割ると 5 余る。このとき、$a+b$ を 4 で割った余り、$2a-3b$ を 4 で割った余り、$a^2 - b^2$ を 4 で割った余りをそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

$a$ を 4 で割ると 3 余るので、$a = 4k + 3$ (kは整数) と表せる。

$b$ を 8 で割ると 5 余るので、$b = 8l + 5$ (lは整数) と表せる。

(1) $a+b$ を 4 で割った余り

$a + b = (4k + 3) + (8l + 5) = 4k + 8l + 8 = 4(k + 2l + 2)$

したがって、$a+b$ は 4 で割り切れるので、余りは 0 である。

(2) $2a - 3b$ を 4 で割った余り

$2a - 3b = 2(4k + 3) - 3(8l + 5) = 8k + 6 - 24l - 15 = 8k - 24l - 9 = 4(2k - 6l - 3) + 3$

したがって、$2a - 3b$ を 4 で割った余りは 3 である。

(3) $a^2 - b^2$ を 4 で割った余り

$a^2 - b^2 = (4k + 3)^2 - (8l + 5)^2 = (16k^2 + 24k + 9) - (64l^2 + 80l + 25) = 16k^2 + 24k - 64l^2 - 80l - 16 = 4(4k^2 + 6k - 16l^2 - 20l - 4)$

したがって、$a^2 - b^2$ は 4 で割り切れるので、余りは 0 である。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 3

ウ: 0