6で割ると3余り、13で割ると7余る3桁の整数のうち、最大のものを求めよ。

1. 問題の内容

6で割ると3余り、13で割ると7余る3桁の整数のうち、最大のものを求めよ。

2. 解き方の手順

求める整数を$x$とする。

問題文より、$x$は整数$a, b$を用いて、以下の2つの式で表せる。

$x = 6a + 3$

$x = 13b + 7$

これらより、$6a + 3 = 13b + 7$が得られ、整理すると、

$6a - 13b = 4$

この不定方程式を解く。まず、特殊解を求める。

$6(1) - 13(0) = 6$

$6(1) - 13(0) = 6$

$6(-1) - 13(0) = -6$

$6(-2) - 13(0) = -12$

$6(9) - 13(4) = 54 - 52 = 2$

$6(18) - 13(8) = 108 - 104 = 4$

よって、$a=18$, $b=8$は、$6a - 13b = 4$の特殊解である。

一般解は、整数$k$を用いて、

$a = 18 + 13k$

$b = 8 + 6k$

と表される。これを$x = 6a + 3$に代入すると、

$x = 6(18 + 13k) + 3 = 108 + 78k + 3 = 78k + 111$

$x$は3桁の整数であるので、$100 \leq x \leq 999$を満たす必要がある。

$100 \leq 78k + 111 \leq 999$

$-11 \leq 78k \leq 888$

$-\frac{11}{78} \leq k \leq \frac{888}{78} = \frac{444}{39} = \frac{148}{13} \approx 11.38$

$k$は整数であるので、$0 \leq k \leq 11$。

$x$が最大となるのは、$k = 11$のとき。

$x = 78(11) + 111 = 858 + 111 = 969$

3. 最終的な答え

969