(2) $m$ と $n$ が整数のとき、$\frac{m}{2} + \frac{n}{3}$ で表される最小の正の数を求める。

1. 問題の内容

(2) $m$ と $n$ が整数のとき、$\frac{m}{2} + \frac{n}{3}$ で表される最小の正の数を求める。

2. 解き方の手順

$\frac{m}{2} + \frac{n}{3}$ を通分すると、$\frac{3m + 2n}{6}$ となる。

$m$ と $n$ は整数なので、$3m + 2n$ も整数である。

$\frac{3m + 2n}{6}$ が最小の正の数となるためには、$3m + 2n$ が最小の正の整数となる必要がある。つまり、$3m + 2n = 1$ となる整数 $m, n$ を探せばよい。

ディオファントス方程式 $3m + 2n = 1$ を解く。

特殊解の一つとして、$m = 1, n = -1$ がある。

したがって、$3(1) + 2(-1) = 1$ が成り立つ。

一般解は、

$3(m - 1) + 2(n + 1) = 0$

$3(m - 1) = -2(n + 1)$

$m - 1 = 2k$, $n + 1 = -3k$ (kは整数)

$m = 2k + 1$, $n = -3k - 1$

このとき、$\frac{3m + 2n}{6} = \frac{3(2k+1) + 2(-3k-1)}{6} = \frac{6k + 3 - 6k - 2}{6} = \frac{1}{6}$

したがって、$\frac{m}{2} + \frac{n}{3}$ で表される最小の正の数は $\frac{1}{6}$ である。

3. 最終的な答え

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