$ \frac{n^2 + 7n + 12}{n+1} $ が整数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{n^2 + 7n + 12}{n+1}$ が整数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n^2 + 7n + 12$ を $n+1$ で割ります。

\[

\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{n} & +6 \\

\cline{2-5}

n+1 & n^2 & +7n & +12 \\

\multicolumn{2}{r}{n^2} & +n \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & 6n & +12 \\

\multicolumn{2}{r}{} & 6n & +6 \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 6 \\

\end{array}

\]

したがって、

$$$$

\frac{n^2 + 7n + 12}{n+1} = n+6 + \frac{6}{n+1}

$$$$

となります。

$n$ は自然数なので、$n+6$ は整数です。したがって、$\frac{n^2 + 7n + 12}{n+1}$ が整数となるためには、$\frac{6}{n+1}$ が整数となる必要があります。

$\frac{6}{n+1}$ が整数となるのは、$n+1$ が 6 の約数であるときです。6の約数は 1, 2, 3, 6 です。

したがって、

\begin{itemize}

\item $n+1 = 1$ のとき、$n=0$ となりますが、$n$ は自然数なので不適。

\item $n+1 = 2$ のとき、$n=1$

\item $n+1 = 3$ のとき、$n=2$

\item $n+1 = 6$ のとき、$n=5$

\end{itemize}

以上より、求める自然数 $n$ は 1, 2, 5 です。

3. 最終的な答え

1, 2, 5