$a \geq 0$, $b \geq 0$, $c \geq 0$ を満たす実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$a \geq 0$, $b \geq 0$, $c \geq 0$ を満たす実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、両辺が非負であることに注意して、不等式の両辺を2乗することを考える。

$\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2 \geq \frac{ab+bc+ca}{3}$

$\frac{(a+b+c)^2}{9} \geq \frac{ab+bc+ca}{3}$

両辺に9を掛けて、

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

左辺を展開して、

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \geq 3ab + 3bc + 3ca$

移項して、

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0$

両辺に2を掛けて、

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \geq 0$

$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \geq 0$

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$

$a, b, c$ は実数なので、$(a-b)^2$, $(b-c)^2$, $(c-a)^2$ はそれぞれ0以上の値を取る。したがって、これらの和も0以上になる。

よって、$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$ が成り立つ。

上記の変形を逆にたどると、$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$ が成り立つことが示される。

3. 最終的な答え

$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$ が成り立つ。