以下の2つの条件を満たす自然数 $n$ を求めます。 * $n, 12, 20$ の最大公約数が $4$ であり、最小公倍数が $180$ である。 * $n, 125, 175$ の最大公約数が $25$ であり、最小公倍数が $3500$ である。

1. 問題の内容

以下の2つの条件を満たす自然数 $n$ を求めます。

* $n, 12, 20$ の最大公約数が $4$ であり、最小公倍数が $180$ である。

* $n, 125, 175$ の最大公約数が $25$ であり、最小公倍数が $3500$ である。

2. 解き方の手順

(1) $n, 12, 20$ の場合:

最大公約数が $4$ であるから、$n = 4a$, $12 = 4 \times 3$, $20 = 4 \times 5$ とおくことができます。ここで、$a, 3, 5$ は互いに素である必要があります。

最小公倍数が $180$ であるので、$180 = 4 \times 3 \times 5 \times k$ となります。

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ なので、$4 \times 3 \times 5 \times k = 2^2 \times 3^2 \times 5$ となります。したがって、$k = 3$ です。

$n = 4a$ なので、$a$ は $3$ の約数でなければなりません。$a = 1$ または $a = 3$ が考えられます。

もし $a = 1$ なら、$n = 4$ となります。このとき、$n, 12, 20$ の最大公約数は $4$、最小公倍数は $60$ となり、条件を満たしません。

もし $a = 3$ なら、$n = 12$ となります。このとき、$n, 12, 20$ の最大公約数は $4$、最小公倍数は $60$ となり、条件を満たしません。

$n = 4 \times 3 \times 5 = 60$ は $180$ の約数ではないため、ありえません。

よって、$a$ は $3$ か $5$ の倍数でなければなりません。最小公倍数が $180$ であることから、$n = 4 \times a$ で、$a$ は $3,5$のどちらか一方または両方を約数に持ち、$180/(4\times3\times5) = 3$ となる必要がある。

$n = 4 \times 9 = 36$を考えます。$36 = 2^2 \times 3^2$, $12 = 2^2 \times 3$, $20 = 2^2 \times 5$ なので、最大公約数は $2^2 = 4$ となり、最小公倍数は $2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$ となり、条件を満たします。

(2) $n, 125, 175$ の場合:

最大公約数が $25$ であるから、$n = 25a$, $125 = 25 \times 5$, $175 = 25 \times 7$ とおくことができます。ここで、$a, 5, 7$ は互いに素である必要があります。

最小公倍数が $3500$ であるので、$3500 = 25 \times 5 \times 7 \times k$ となります。

$3500 = 2^2 \times 5^3 \times 7$ なので、$25 \times 5 \times 7 \times k = 2^2 \times 5^3 \times 7$ となります。したがって、$k = 4$ です。

$n = 25a$ なので、$a$ は $5$ と $7$ で割り切れてはいけません。$n = 25 \times 4 = 100$ とすると、$100 = 2^2 \times 5^2$, $125 = 5^3$, $175 = 5^2 \times 7$ となります。

このとき、$n, 125, 175$ の最大公約数は $5^2 = 25$ となり、最小公倍数は $2^2 \times 5^3 \times 7 = 3500$ となり、条件を満たします。

3. 最終的な答え

$n=36$ または $n=100$

一つ目の条件を満たす $n$ は $36$ です。

二つ目の条件を満たす $n$ は $100$ です。

問題文から、nは両方の条件を満たす必要はないと思われるので、

$n = 36$

または

$n=100$

です。

もしnは両方の条件を満たす必要がある場合、条件を満たすnは存在しません。

今回は、$n = 36, 100$ で回答します。