2乗すると $4i$ になる複素数をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

2乗すると $4i$ になる複素数をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

求める複素数を $z = a + bi$ ($a, b$ は実数) とおきます。

$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$

これが $4i$ に等しいので、

$a^2 - b^2 + 2abi = 4i$

実部と虚部を比較して、以下の連立方程式を得ます。

\begin{align*}

a^2 - b^2 &= 0 \\

2ab &= 4

\end{align*}

最初の式より $a^2 = b^2$、つまり $a = b$ または $a = -b$ です。

2番目の式より $ab = 2$ なので、$a$ と $b$ は同符号である必要があります。したがって、$a = -b$ はありえません。

よって、$a = b$ です。これを $ab = 2$ に代入すると、$a^2 = 2$ となり、$a = \pm \sqrt{2}$ です。

$a = b$ なので、$a = \sqrt{2}$ のとき $b = \sqrt{2}$、$a = -\sqrt{2}$ のとき $b = -\sqrt{2}$ となります。

したがって、求める複素数は $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ と $-\sqrt{2} - \sqrt{2}i$ です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$, $-\sqrt{2} - \sqrt{2}i$