次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{1+x - \sqrt{1+2x}}{x^2}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1+x - \sqrt{1+2x}}{x^2}$

2. 解き方の手順

この極限は、直接 $x=0$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形になるため、工夫が必要です。分子の無理式を解消するために、分子と分母に $1+x + \sqrt{1+2x}$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1+x - \sqrt{1+2x}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x - \sqrt{1+2x})(1+x + \sqrt{1+2x})}{x^2(1+x + \sqrt{1+2x})}$

分子を展開します。

$= \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^2 - (1+2x)}{x^2(1+x + \sqrt{1+2x})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{1+2x+x^2 - 1 - 2x}{x^2(1+x + \sqrt{1+2x})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2(1+x + \sqrt{1+2x})}$

$x^2$ を約分します。

$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x + \sqrt{1+2x}}$

$x=0$ を代入します。

$= \frac{1}{1+0 + \sqrt{1+0}}$

$= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$