次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 3} \frac{x - \sqrt{2x+3}}{x-3}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x+9}-3}$ (3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 3} \frac{x - \sqrt{2x+3}}{x-3}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x+9}-3}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 3} \frac{x - \sqrt{2x+3}}{x-3}$

分子の有理化を行います。

\begin{align*}

\lim_{x\to 3} \frac{x - \sqrt{2x+3}}{x-3} &= \lim_{x\to 3} \frac{(x - \sqrt{2x+3})(x + \sqrt{2x+3})}{(x-3)(x + \sqrt{2x+3})} \\

&= \lim_{x\to 3} \frac{x^2 - (2x+3)}{(x-3)(x + \sqrt{2x+3})} \\

&= \lim_{x\to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-3)(x + \sqrt{2x+3})} \\

&= \lim_{x\to 3} \frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x + \sqrt{2x+3})} \\

&= \lim_{x\to 3} \frac{x+1}{x + \sqrt{2x+3}} \\

&= \frac{3+1}{3 + \sqrt{2(3)+3}} \\

&= \frac{4}{3 + \sqrt{9}} \\

&= \frac{4}{3 + 3} \\

&= \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\end{align*}

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x+9}-3}$

分母の有理化を行います。

\begin{align*}

\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x+9}-3} &= \lim_{x\to 0} \frac{x(\sqrt{x+9}+3)}{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{x(\sqrt{x+9}+3)}{(x+9)-9} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{x(\sqrt{x+9}+3)}{x} \\

&= \lim_{x\to 0} (\sqrt{x+9}+3) \\

&= \sqrt{0+9}+3 \\

&= 3+3 = 6

\end{align*}

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

分子の有理化を行います。

\begin{align*}

\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} &= \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{(1+x) - (1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{1+x - 1 + x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} \\

&= \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} \\

&= \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} \\

&= \frac{2}{1+1} \\

&= \frac{2}{2} = 1

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $6$

(3) $1$