関数 $y = \cos^2(2x)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^2(2x)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分法（チェインルール）を用いる必要があります。

まず、$u = \cos(2x)$ とおくと、$y = u^2$ となります。

次に、$v = 2x$ とおくと、$u = \cos(v)$ となります。

ステップ1：$y$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (u^2) = 2u$

ステップ2：$u$ を $v$ で微分します。

$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv} (\cos(v)) = -\sin(v)$

ステップ3：$v$ を $x$ で微分します。

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (2x) = 2$

チェインルールより、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ です。

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot (-\sin(v)) \cdot 2$

$u$ と $v$ を元の式に戻します。

$\frac{dy}{dx} = 2\cos(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = -4\cos(2x)\sin(2x)$

ここで、三角関数の公式 $2\sin(A)\cos(A) = \sin(2A)$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -2(2\sin(2x)\cos(2x))$

$\frac{dy}{dx} = -2\sin(4x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -2\sin(4x)$